KAOS OYUNU VE FRAKTALLAR:
Öncelikle Fraktal kavramına bir göz atalım:
Fraktal: Çoğunlukla oransal kırılma özelliği göstererek kendine benzeyen karmaşık geometrik sekillere verilen ortak addır. Fraktal kelimesi “Fractus” kelimesinden türetilmiştir. Bu kelime parçalanmış, düzensiz, biçimsiz anlamına gelmektedir. Latince’de fraktus kelimesi kırık taş anlamına gelmektedir. Bu kavram ilk kez 1975 yılında Polonya asıllı matematikçi Benoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılmıştır. Yüzyıllarca kullanılan Öklid Geometrisinin yanında doğayı anlamak için yeni bir geometriye ihtiyaç duyuldu, işte bu Fraktal geometri!
Not: Bütün fraktalların kendine benzer olması beklenemez. Ancak tümü kendine benzerdir. Örneğin yukarıda verilen sierpinski üçgeni kendine benzeyen simetrik bir fraktaldır. Bu tarz yapılarda cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütünü ile benzerlik göstermektedir. Cismin içerisinde bulunan düzensiz ayrıntılar ise giderek küçülen ölçek oranlarında yenilenmektedir. Bu yinelenme sonsuza kadar devam etmektedir.
Doğadan bazı Fraktal Örnekleri
Brokoli:
Dikkatli bakıldığı zaman brokoli bir fraktaldır çünkü bir parçası brokolinin bütününe benzemektedir ve karışık bir yapıdır.
Kar taneleri:
Kar taneleri doğadaki en kompleks fraktallardan birisidir ve her bir kar tanesinin kendine özgü bir şekli vardır. Doğada milyonlarca farklı tipte kar tanesi görülür.
Von Koch Eğrisi:
Bu kısımda tek bir doğru parçası ile başlanır. Doğru parçası 3 eşit parçaya ayrılır. Ortadaki parça alınır. Alınan parçayı bir eşkenar üçgen oluşacak şekilde dışa doğru tamamlıyoruz. Böylelikle 4 eş parçadan oluşan kırık çizgi elde edilmiş oluyor. Bu durum motif yahut oluşturucu olarak adlandırılmaktadır. Bu eğrinin toplam uzunluğu olur. Benzer şekilde adım adım devam edilirse her birinin uzunluğu, eş doğru parçasından oluşan bir eğri haline gelir ve eğrinin toplam uzunluğu olur.
Böylelikle;
Bir fraktalın boyutu: D ile gösterilecek olursa
Örneğin Cantor kümesinin fraktal boyutu D= log2 / log3 yaklaşık olarak 0,6309 > 0 olur, bunun topolojik boyutu ise Dt= 0 olur.
sierpinski üçgeni gibi kendisinin aynı minik şekillerinden oluşan fraktallar için fraktal boyutları ve benzerlik boyutları aynıdır. Bu şekilde, bir şekil kendisine benzeyen n kadar kopyadan oluşmaktadır. Kopyaların her biri, şeklin kendisine göre uzunluk olarak 1/m büyüklüğünde ise bu şeklin kendine benzeme boyutu log n/ log m şeklinde gösterilir. Örneğin Sierpinski üçgeni, kendine benzeyen 3 kopyadan oluşmuştur. Bu şekilde n=3’tür. Her bir kopya kendi özgün şeklinin yarısı m=2 uzunluğundadır. Bundan dolayı Sierpinski üçgeninin fraktal boyutu D= log3 / log2 yaklaşık olarak 1.585 idir.
Şimdi gelgelelim “Chaos Game”e namıdeğer kaos oyunu,
Kaos oyunu, oluşturulması için fraktal kullanan bir çokgenin içinden rastgele seçilen bir başlangıç noktası ile oynanmaya başlar. Bu oyunun amacı her noktanın belirli bir kesir olduğu ilk rastgele noktadan başlayarak yinelemeli bir şekilde bir nokta dizisi oluşturarak fraktal bir şekil elde etmesidir. Oyunda, seçilen bir önceki nokta ile köşe arasında başka bir nokta daha belirlemek üzerine devam etmektedir. İzlediğim videoda bir adam, birleştirildiklerinde üçgen bir şekil elde edecek şekilde üç nokta belirlemektedir. A, B, C noktaları. Daha sonra bu noktaları bir zarın yüzeyindeki sayılarla eşleştirmektedir. Örneğin:
A= 1,2
B=3,4
C= 5,6
Gibi…
Adam ilk önce rastgele bir nokta işaretler ve daha sonrasında zarı atarak çıkan köşe ve son işaretlediği noktanın ortasında yeni bir nokta işaretler. Oyun böyle devam ettikçe orta sierpinski üçgeni ortaya çıkar. Düzenli bir üçgen ve ½ faktörünün kullanılması sierpinski üçgeni ile sonuçlanır. Noktaların sayısı (n) yükseldikçe, düzenleme karşılık gelen (n-1) boyutlu sierpinski simplex’i oluşturur.
Terim, yinelenen işlev sisteminin sabit noktasını üreterek genelleşir. Herhangi bir başlama noktasından (X0) noktasından başlayan ardışık yinelemeler X k+1 = F1 şeklinde oluşturulur.
