Ardışık Sayıların Toplamı: Gauss Formülü İspatı
Gauss kimdir?
Matematikçilerin prensi ve “antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi” olarak anılan Carl Friedrich Gauss’un sayılar teorisi, analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, manyetizma, astronomi ve optik alanlarında önemli bilimsel katkıları olan bir matematikçidir. Gauss, 1799’da bitirdiği doktora tezinde cebirin temel teoreminin bir kanıtını sundu. Bu çok önemli teorem, karmaşık sayılar üzerine tanımlanmış her polinomun en az bir kökü olduğunu söyler. Gauss’tan önce pek çok matematikçi bu teoremi kanıtlamayı denemiş, ama hiçbir kanıt genel kabul görmemişti. Gauss’un kanıtına da, o zamanlar henüz kanıtlanmamış olan Jordan eğri teoremini kullandığı için itiraz edildi. Bu itirazlar üzerine Gauss, hayatı boyunca üç değişik kanıt daha sunmuştur, 1849’daki son kanıtı tüm matematikçilerden kabul görmüştür. Gauss bu kanıtlar üzerinde çalışırken, karmaşık sayılar kavramının olgunlaşmasına çok büyük katkıda bulunmuştur.
Ardışık Sayıların toplamı için basit bir formülümüz var. 1’den n’e kadar giden sayıları gauss fomülü ile n.(n+1) / 2 olarak hesaplıyoruz.
1+2+3+4+5…..+n = n.(n+1)/2
Peki Gauss formülünün neden böyle olduğunu, nereden geldiğini veya ispatını biliyor muyuz?
Bunu bir örnekle açıklayalım:
Sayıları 1’den 100 e kadar art arda yazalım:
1+2+3+4+5+6+……………….98+99+100
Şimdi de alt sırasına 100’den 1’e bu sefer ters olacak şekilde yazalım.
1+2+3+4+5+………..98+99+100 =a
100+99+98+………+2+ 1+ 0 =a
Bu sayıları alt alta topladığımız zaman her sütunun toplamı 101 gelmektedir ve bu da 0 da dahil olduğu için 101 tane 101 çarpımının 2’a ya eşit olduğunu gösterir.
101.101= 2a
101.101/2 = a
Bu işlemi çözersek eğer
50.101=a
A=5050
Şimdi n*(n+1)/2 formülü üzerinden hesaplayalım:
100.101/2= 5050
Böylelikle gördüğünüz gibi en başta verilen formüle ulaşılmış oldu.
