100 kişinin bulunduğu bir yarışmada bu 100 kişiyi 100 tane dolabın olduğu bir odaya götürürler. Bütün yarışmacılara 1’den 100’e kadar numaralandırılmış anahtarlar verilecektir. Her dolabın içinde bir zarf bulunmakta ve zarfın içinde yazılı bir şey vardır. Yarışmanın sonucunda ise açık kalan dolapların içerisindeki sayılar büyük kasanın şifresini verecektir ve büyük kasadaki para ödülü şifreyi bulan kişiye ait olacaktır. Her numaralanmış anahtarın ise açabildiği dolaplar farklıdır.
Örneğin:
- 1. Anahtar bütün dolapları açacaktır
- 2. Anahtar açık olan her ikinci dolabı kapatacaktır.
- 3. Anahtar her üçüncü dolabın durumunu değiştirecektir. Örneğin dolap açık ise kapanacak, kapalı ise açılacaktır.
Bu böylelikle 100’e kadar gidecektir.
Bu durumda hangi dolapların açık kalacağını ve şifrenin hangi dolapların içindeki zarfta yazanlardan oluşacağını nasıl bulursunuz?
Çözüm:
Öncelikle bir dolabın durumunun kaç defa değişeceğini bulmanız gerekmektedir. Bu da dolap numarasını bölen sayıları bulmakla mümkündür. Örneğin 6. Dolabı 1. Anahtar açacak, 2. Anahtar kapatacak (çünkü 3. anahtar 2’linin 2.si) ve 3. Anahtar açacaktır. 100’e kadar devam ettiği için de 6. Anahtar da bu dolabı kapatacaktır. Buradan anlaşılacağı üzere eğer dolap sayısının bölen sayısı çift sayı ise dolabın durumu değişmeyecek ve en baştaki gibi kapalı kalacaktır. Bu durumda tek sayıda böleni olması dolabın açık kalacağını gösterir. Bu durumda çoğu dolabın çift böleni vardır ve kapalı kalır. Çift sayıda böleni olan dolapların sayıca üstün olmasının sebebi ise bölenlerin çifter şekilde ilerlemesidir. Çarpan ağacından anlaşılabileceği üzere bölenler 2 ve katları şeklinde bölünerek ilerler. Bu da bize tek sayıda böleni olanların aslında tam kare sayılar olduğunu gösterir.
Örneğin:
n * n = n kare
9. dolap için; 1. Anahtar açacak, 3. Anahtar kapatacak ve 9. Anahtar tekrar açacaktır. 9 ise 3’ün tam karesidir. Ancak çarpan ağacında 3 bölen olarak yalnızca bir kez sayılabilir.
Böylelikle kasanın şifresini yalnızca açık kalan tam kare sayılara sahip dolapların içerisindeki zarflardan çıkanlarla öğrenebilirsin. Sonuç olarak açık kalacak dolaplar:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
